とある物理屋さんの日記

かきのたねブログに引っ越しました。

ロンスキアン

大学での物理学

高階の微分方程式を解いていると、関数f_{1}(x),f_{2}(x)などが線型独立かどうかが気になる。

 

解がy=C_{1}f_{1}(x)+C_{2}f_{2}(x)と求まったとき、f_{2}(x)=Af_{1}(x)であったら実質y=(C_{1}+A)f_{1}(x)となってしまうからだ。

 

そうならないためには、C_{1}f_{1}(x)+C_{2}f_{2}(x)=0を満たすC_{1}とC_{2}がC_{1}= C_{2}=0のみである必要がある。

 

これを確認するために、1回微分したC_{1}f'_{1}(x)+C_{2}f'_{2}(x)=0を用意する。

 

この2式をまとめて行列で書き表すと、

egin{pmatrix}f_{1}(x) f_{2}(x)'_{1}(x)f'_{2}(x)end{pmatrix}egin{pmatrix}C_{1}C_{2}end{pmatrix}=egin{pmatrix}0end{pmatrix}

となる。

 

これをみたすC_{1}, C_{2}が C_{1}= C_{2}=0のみであることは、

detegin{pmatrix}f_{1}(x) f_{2}(x)'_{1}(x)f'_{2}(x)end{pmatrix} eq0

と同値であり、この行列式をロンスキアンという。

 

3つ以上の関数が線型独立かどうかを調べるときは、3回以上微分をして同じことをすればよい。

 

2階の微分方程式を解いたときには2種類の一般解が出てくるが、それらが独立な解であるかを確かめるのに「ロンスキアンがゼロでない」ことを利用するとよいだろう。

 

 

【この記事をご覧になってくださった読者様へ】

2018年11月より高校生や大学生家庭教師に向けた、高校物理のポイントをわかりやすく解説するサイトを開設しました。

大学入試1次試験(センター試験)物理で満点を記録し、旧帝大の後期試験では数学・物理共に9割得点で合格した筆者が、物理を自在に操る方法を伝授します！

現在は分野ごとに重要となる考え方をまとめた記事を、わかりやすく・読みやすくバンバン執筆しています！

是非ご覧になってください！詳細はコチラ↓

【かきのたねブログ】｜高校物理の家庭教師

湯気は水蒸気？

便利コラム

お風呂などで見ることができる湯気は、実は気体ではない。

 

あの湯気は小さな液体の水の粒の集まりである。近くにガラスなどを置いておくと、その水がくっついて水滴になるのを見たことがあるだろう。

 

気体というのは目に見えない。気体の水とは、温度が100度以上で無色透明である。

 

なぜ湯気を気体と勘違いしてしまうのかというと、気体の水は温度が100度を下回ると凝結して液体になってしまうからだ。気体がいきなりペットボトルの水のような水の塊にはなれず、小さい粒として液体になっていく。この小さい粒はとても軽いので簡単に空気中を飛び回ることができ、これが湯気の正体である。

 

沸騰したお湯を見てほしい。お湯の表面は気体なので、白い湯気は見えないはずだ。

 

 

【この記事をご覧になってくださった読者様へ】

2018年11月より高校生や大学生家庭教師に向けた、高校物理のポイントをわかりやすく解説するサイトを開設しました。

大学入試1次試験(センター試験)物理で満点を記録し、旧帝大の後期試験では数学・物理共に9割得点で合格した筆者が、物理を自在に操る方法を伝授します！

現在は分野ごとに重要となる考え方をまとめた記事を、わかりやすく・読みやすくバンバン執筆しています！

是非ご覧になってください！詳細はコチラ↓

【かきのたねブログ】｜高校物理の家庭教師

水をすぐに沸騰させる

便利コラム

今日は物理的なコラムでも書いてみよう。

 

料理をする人にとっては常識かもしれないが、

お湯を沸かす時にはふたをするといい。

 

その理由は空気の熱伝導率が悪いことによる。

 

氷を運ぶ時には発泡スチロールなど

保温できるものに入れるだろう。

 

簡単な構造の保温容器は

保温したい物と外気との間に

空気の層を作っている。

 

空気はなかなか温まらないので、

空気が冷たければ冷たいほど

温かいものはよく熱を奪われてしまう。

 

しかし1度温めてしまえば

空気はなかなか冷めない。

 

温めた空気で覆っておくことで

冷たい空気に熱を奪われる機会が減る。

 

これと同じことがお湯を沸かすときにも言える。

 

蓋をすることによって

冷たい空気とお湯との間に

温かい空気の層ができるのだ。

 

空気は放っておくと

色々な所に散らばってしまう。

 

「臭いものには蓋をしろ」

と聞いたことがあるだろう笑

 

蓋をしなければ

せっかく周りの空気を温めても

みるみると冷たい空気と混じり合ってしまう。

 

お湯を沸かすときには

ぜひふたをしよう。

 

 

【この記事をご覧になってくださった読者様へ】

2018年11月より高校生や大学生家庭教師に向けた、高校物理のポイントをわかりやすく解説するサイトを開設しました。

大学入試1次試験(センター試験)物理で満点を記録し、旧帝大の後期試験では数学・物理共に9割得点で合格した筆者が、物理を自在に操る方法を伝授します！

現在は分野ごとに重要となる考え方をまとめた記事を、わかりやすく・読みやすくバンバン執筆しています！

是非ご覧になってください！詳細はコチラ↓

【かきのたねブログ】｜高校物理の家庭教師

微分積分学としてのベクトル解析 第9章

宮島静雄 微分積分学としてのベクトル解析

今日はベクトル解析の教科書を読んだ。

やはり宮島先生の本は読みやすい。

 

連続性については

近傍を開集合で定義するのがミソなのか。

 

まだ位相についてはやれていないが、

そろそろ第2章に入らなければ。

 

物理学科で1度は学んだ内容だが、

少し厳密性を追求すると

どんな議論になるのだろうか。

先を読むのが楽しみだ。

 

 

【この記事をご覧になってくださった読者様へ】

2018年11月より高校生や大学生家庭教師に向けた、高校物理のポイントをわかりやすく解説するサイトを開設しました。

大学入試1次試験(センター試験)物理で満点を記録し、旧帝大の後期試験では数学・物理共に9割得点で合格した筆者が、物理を自在に操る方法を伝授します！

現在は分野ごとに重要となる考え方をまとめた記事を、わかりやすく・読みやすくバンバン執筆しています！

是非ご覧になってください！詳細はコチラ↓

【かきのたねブログ】｜高校物理の家庭教師