ロンスキアン - とある物理屋さんの日記

高階の微分方程式を解いていると、関数 $f_{1}(x),f_{2}(x)$ などが線型独立かどうかが気になる。

解が $y=C_{1}f_{1}(x)+C_{2}f_{2}(x)$ と求まったとき、 $f_{2}(x)=Af_{1}(x)$ であったら実質 $y=(C_{1}+A)f_{1}(x)$ となってしまうからだ。

そうならないためには、 $C_{1}f_{1}(x)+C_{2}f_{2}(x)=0$ を満たす $C_{1}$ と $C_{2}$ が $C_{1}= C_{2}=0$ のみである必要がある。

これを確認するために、1回微分した $C_{1}f'_{1}(x)+C_{2}f'_{2}(x)=0$ を用意する。

この2式をまとめて行列で書き表すと、

$egin{pmatrix}f_{1}(x) f_{2}(x)'_{1}(x)f'_{2}(x)end{pmatrix}egin{pmatrix}C_{1}C_{2}end{pmatrix}=egin{pmatrix}0end{pmatrix}$

となる。

これをみたす $C_{1}, C_{2}$ が $C_{1}= C_{2}=0$ のみであることは、

$detegin{pmatrix}f_{1}(x) f_{2}(x)'_{1}(x)f'_{2}(x)end{pmatrix} eq0$

と同値であり、この行列式をロンスキアンという。

3つ以上の関数が線型独立かどうかを調べるときは、3回以上微分をして同じことをすればよい。

2階の微分方程式を解いたときには2種類の一般解が出てくるが、それらが独立な解であるかを確かめるのに「ロンスキアンがゼロでない」ことを利用するとよいだろう。

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